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2.1 - Sommari
Eserciziario di Analisi I - Sommario

Eserciziario di Analisi I - Sommario

Raccolta di esercizi per Analisi Matematica I, con o senza soluzioni.

1. Funzioni

Esercizi sulle funzioni

Alcuni esercizi misti sulle funzioni

0. Info

Questo appunto contiene degli esercizi misti sull'argomento delle Funzioni. Notare che alcuni esercizi potrebbe richiedere già di essere preparati nell'argomento delle funzioni di variabile reale, ovvero Funzioni di potenza, radice e valore assoluto e/o Funzioni trigonometriche.

Dal 29.11.2023 in poi questa scheda conterrà anche degli esercizi sullo studio delle funzioni, sulla dimostrazione di certe proprietà di alcune funzioni partendo da certe proprietà ipotetiche.
Pertanto gli esercizi richiederanno anche la conoscenza dei seguenti macroargomenti:

  • La Continuità delle Funzioni
  • Calcolo Differenziale

1. TIPOLOGIA A. DEFINIZIONI MISTE

Qui si propone degli esercizi misti sulle funzioni svolte durante le lezioni dell'A.A. 2023-2024, in cui basta conoscere delle definizioni.

ESERCIZIO 1.a. Sia Si determini: Con il grafico della funzione da disegnare.

ESERCIZIO 1.b. Sia Determinare .

ESERCIZIO 1.c. Data la funzione , trovare

ESERCIZIO 1.d. Data la funzione Disegnare e determinare

2. TIPOLOGIA B. STUDIO DI FUNZIONE

Lezione 26
#Esercizio

Esercizio 1 (Esercizio B1.).

Si disegni il grafico della funzione
Studiando il suo dominio, segno, limiti, asintoti e la prima derivata.

Esercizio 2 (Esercizio B2.).

Si disegni il grafico della funzione
Studiando il suo dominio, segno, i suoi limiti, e la sua derivata prima.
Inoltre, si dica al variare di , quante sono le soluzioni di

Esercizio 3 (Esercizio B3.).

Si disegni il grafico della funzione
Studiando ciò che è necessario, evidenziando i suoi asintoti obliqui.

Lezione 28
#Esercizio

Esercizio 4 (Esercizio B4.).

Si studi la funzione
determinando il suo dominio, segno, limiti agli estremi, eventuali asintoti, prima derivata, crescenza/decrescenza, eventuali massimi e/o minimi, derivata seconda, concavità e convessità ed eventuali punti di flessi.

Esercizio 5 (Esercizio B5.).

Si studi la funzione
determinando il suo dominio, limiti agli estremi, eventuali asintoti, derivata prima e il suo segno e derivata seconda.

3. TIPOLOGIA C. ESERCIZI TEORICI

Lezione 22
#Esercizio

Esercizio 6 (Esercizio C1.).

Sia una funzione continua, con le seguenti proprietà:
Dimostrare che ha minimo assoluto.

Esercizio 7 (Esercizio C2.).

Sia una funzione continua.
Supponendo che , provare che ha almeno due soluzioni.

Esercizio 8 (Esercizio C3.).

Sia continua.
Provare che l'insieme delle soluzioni , ovvero è un insieme chiuso.

Lezione 26
#Esercizio

Esercizio 9 (Esercizio C4.).

Sia una funzione derivabile.
Supponendo che , provare la seguente:

Esercizio 10 (Esercizio C5.).

Sia una funzione derivabile.
Sia .
Provare che
e che

Esercizio 11 (Esercizio C6.).

Sia continua su e derivabile su .
Sia .
Dimostrare le seguenti tre proposizioni:

Lezione 31
#Esercizio

Esercizio 12 (Esercizio C7.).

Sia una funzione lipschitziana (Proposizione 3 (funzione lipschitziana è continua)), ovvero che vale la seguente condizione:
Dimostrare che è continua.

2. Limiti

Esercizi sui Limiti
Esercizi sui Limiti

Tutti gli esercizi sui limiti

0. Propedeuticità

Questa parte (come è ben ovvia) richiede la conoscenza preliminare della parte teorica sui limiti; ovvero bisogna conoscere i contenuti di tutti i capitoli prima di poter affrontare gli esercizi.

1. Esercizi proposti in lezione

Qui si raccolgono tutti gli esercizi proposti da D.D.S. durante le lezioni dell'anno accademico 2023-2024.
Giorno 30.10.2023
ESERCIZIO 1.1. ESERCIZIO 1.2. ESERCIZIO 1.3.

ESERCIZIO 1.4.

ESERCIZIO 1.5. ESERCIZIO 1.6. ESERCIZIO 1.7. ESERCIZIO 1.8. ESERCIZIO 1.9. ESERCIZIO 1.10. ESERCIZIO 1.11. ESERCIZIO 1.12. ESERCIZIO 1.13. ESERCIZIO 1.14. ESERCIZIO 1.15. Giorno 06.11.2023
ESERCIZIO 1.16.
ESERCIZIO 1.17. ESERCIZIO 1.18. ESERCIZIO 1.19. ESERCIZIO 1.20. ESERCIZIO 1.21. ESERCIZIO 1.22. Giorno 09.11.2023
ESERCIZIO 1.23.

ESERCIZIO 1.24.

ESERCIZIO 1.25.

ESERCIZIO 1.26.

ESERCIZIO 1.27.

ESERCIZIO 1.28.

Girono 13.11.2023: Provetta
ESERCIZIO 1.29.

ESERCIZIO 1.30.

ESERCIZIO 1.31.

ESERCIZIO 1.32.

Giorno 27.11.2023: Lezione 26
#Esercizio

Esercizio 1 (Esercizi 1.33. - 1.36.).

Calcolare, se esistono, i seguenti limiti.

Giorno 28.11.2023: Lezione 27
#Esercizio

Esercizio 2 (Esercizi 1.37 - 1.44.).

Calcolare, se esistono, i seguenti limiti.

2. Esercizi delle dispense

Qui si raccolgono tutti gli esercizi disponibili nella dispensa.

3. Esercizi dei papers

Qui si raccolgono tutti gli esercizi dei papers messi a disposizione.

4. Esercizi delle prove d'esame

In questa sezione segnerò quali esercizi ho svolto dei temi d'esame precedenti.

  • Appello 24.01.2018 fila B primo limite ✅ 2023-11-13
  • Appello 24.01.2018 fila B secondo limite
  • Appello 14.02.2018 fila D primo limite ✅ 2023-11-13
  • Appello 14.02.2018 fila D secondo limite ✅ 2023-11-13
  • Nota: esercizio risolto con de l'Hopital
  • ...
  • Appello 27.01.2022 fila A primo limite ✅ 2023-11-14
  • Appello 27.01.2022 fila A secondo limite ✅ 2023-11-14
  • Appello 27.01.2022 fila A terzo limite
  • Appello 27.01.2022 fila A quarto limite

5. Esercizi del libro

Fonte: Analisi Matematica (Vol. 1), E. Giusti
ESERCIZIO 12, PAG. 152. ESERCIZIO 21, PAG. 152. ESERCIZIO 22, PAG 152. ESERCIZIO 23, PAG 152.

6. Svolgimento degli esercizi

6.1. Esercizi delle lezioni

VOID

6.2. Esercizi delle dispense

VOID

6.3. Esercizi dei papers

VOID

6.4. Esercizi delle prove d'esame

VOID

6.5. Esercizi del libro

ESERCIZIO 12, PAG. 152. Ho il limite Qui si tratta di ricordarsi di una osservazione del valore assoluto (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto, OSS 3.1.1.), ovvero che Rimpiazziamo dunque con . Allora ho Ora basta richiamare la definizione del valore assoluto, avendo dunque Visto che stiamo studiando il comportamento di questa funzione attorno , basta fare la restrizione del limite con il limite destro e sinistro (Definizione di Limite di funzione), in quanto approcciando a da "destra" abbiamo sempre valori positivi (in quanto abbiamo la semiretta ), similmente da "sinistra" abbiamo sempre valori negativi. Allora Dunque abbiamo e ciò vuol dire che non esiste il limite per .

ESERCIZIO 21, PAG. 152. Ho il limite allora uso la forma di addizione per (Funzioni trigonometriche). Poi manipolo opportunamente l'espressione ottenuta Allora ESERCIZIO 22, PAG. 152. Ho il limite Moltiplico sia sopra che sotto per . Allora Ora il punto cruciale di questa manipolazione è di osservare che Questo passaggio presuppone di restringere il dominio della funzione a quello di tutti i valori positivi: tuttavia questa operazione non è restrittiva, in quanto la funzione radice quadrata presuppone già la restrizione ai valori positivi. Allora abbiamo Abbiamo ottenuto infine ESERCIZIO 23, PAG. 152. Ho il limite Sviluppo l'espressione sul numeratore. Ora raccolgo il numeratore del numeratore per . Quindi sul limite ho Allora

3. Continuità

Esercizi sulle Funzioni Continue
Esercizi sulle Funzioni Continue

Esercizi sulle funzioni continue del tipo esame. Spesso constano in dimostrazioni da svolgere.

1. Esercizi proposti in classe

Giorno 16.11.2023

Esercizio 1 (Esercizio 1.1.).

Sia .
Supponiamo continua, e di avere i limiti
Dimostrare che ha minimo assoluto.

Esercizio 2 (Esercizio 1.2.).

Sia , continua.
Supponendo , , , dimostrare che l'equazione
ha almeno due soluzioni.

Esercizio 3 (Esercizio 1.3.).

Sia ,
Dire se esistono valori per tali che sia continua e in tal caso trovarli.

Esercizio 4 (Esercizio 1.4.).

Sia una funzione
Trovare (se esistono) valori di tali che sia continua.

Esercizio 5 (Esercizio 1.5.).

Sia una funzione del tipo
Trovare il valore/i del parametri tale che sia continua in (se esiste).

Esercizio 6 (Esercizio 1.6.).

Sia , continua.
Provare che è un chiuso (Definizione 2.1. (Insieme Chiuso)).

4. Derivate

Esercizi sulle derivate
Esercizi sulle derivate

Tutti gli esercizi sulle derivate proposte da D. D. S. in lezione.

TIPOLOGIA A. CALCOLO DELLE DERIVATE

Modello A.

Qui banalmente si tratta di calcolare derivate di funzioni composte da funzioni elementari mediante le proprietà delle derivate (Proprietà delle derivate).

Lezione 23
#Esercizio

Esercizio 1 (Esercizio A1.).

Calcolare (1+2x+3x^2)'

Esercizio 2 (Esercizio A2.).

Calcolare

Esercizio 3 (Esercizio A3.).

Calcolare '

Esercizio 4 (Esercizio A4.).

Calcolare

Esercizio 5 (Esercizio A5.).

Calcolare .

Esercizio 6 (Esercizio A6.).

Calcolare

Esercizio 7 (Esercizio A7.).

Calcolare

Esercizio 8 (Esercizio A8.).

Calcolare

Esercizio 9 (Esercizio A9.).

Calcolare

Lezione 26
#Esercizio

Esercizio 10 (Esercizio A10.).

Sia la seguente funzione a variabili reali:
Determinare se è derivabile, in tal caso calcolarne la derivata. Successivamente determinare se è derivabile, in tal caso calcolarne la derivata (ovvero )

TIPOLOGIA B. PROBLEMA DELLE TANGENTI

Modello B.

Qui si tratta di trovare delle tangenti su un punto preciso di una funzione.

Lezione 23
#Esercizio

Esercizio 11 (Esercizio B1.).

Sia una curva sul piano.
Trovare la tangente alla curva nel punto .

Esercizio 12 (Esercizio B2.).

Sia la semicirconferenza sul piano.
Dato un generico , trovare la formula della retta tangente alla semicirconferenza .

TIPOLOGIA C. PROBLEMI DI MIN, MAX

Modello C.

In questa tipologia si tratta di trovare di trovare un modello matematico che descrive al meglio un problema, poi di eseguire delle operazioni di "minimizzazione" (o "massimizzazione") su questo modello.

Lezione 24
#Esercizio

Esercizio 13 (scatola di cartone senza superficie superiore).

Suppongo di aver un foglio quadrato di cartone, con lato lungo un metro ().
Suppongo di tagliare quattro quadrati più piccoli in corrispondenza degli angoli e voglio costruire una scatola a base quadrata, senza il coperchio.
Trovare il miglior modo per costruire questa scatola; ovvero col volume massimo.

Esercizio 14 (triangolo inscritto in una circonferenza di area massima).

Suppongo di creare un triangolo a partire da una circonferenza fissata, prendendo un triangolo inscritto.
Trovare il triangolo di massima area.

Esercizio 15 (lattina).

Supponiamo che l'azienda Pepsi ci offra il seguente progetto lavorativo:
"Progettare una lattina cilindrica che risparmi il più alluminio possibile, con un volume fissato."
Eseguire la richiesta dell'azienda nota.

5. Integrali

Esercizi sugli Integrali
Esercizi sugli Integrali

Tutti gli esercizi sugli integrali: da Riemann al calcolo delle primitive.

TIPOLOGIA A. VALUTAZIONE SECONDO RIEMANN

Lezione 30
#Esercizio

Esercizio 1 (esponenziale).

Calcolare
mediante l'integrazione secondo Riemann.

Esercizio 2 (potenza).

Calcolare
per un qualunque , mediante l'integrazione secondo Riemann.

TIPOLOGIA B. CALCOLO DELLE PRIMITIVE

Lezione 31
#Esercizio

Esercizio 3 (integrali vari).

Calcolare i seguenti integrali mediante il calcolo delle primitive.

Lezione 32
#Esercizio

Esercizio 4 (integrali misti).

Calcolare i seguenti integrali:

Esercizio 5 (integrali misti).

Calcolare

Esercizio 6 (integrali misti).

Calcolare

TIPOLOGIA C. LIMITI CON GLI INTEGRALI

Lezione 32
#Esercizio

Esercizio 7 (Esercizio C1.).

Esercizio 8 (Esercizio C2.).

Esercizio 9 (Esercizio C3.).

TIPOLOGIA D. ESERCIZI TEORICI

Lezione 33 (esercitazione)
#Esercizio

Esercizio 10 (Esercizio D1.).

Dire se la funzione integrale
è crescente sull'intervallo .

Esercizi interessanti trovati su internet

Esercizio 11 (Esercizio D2.).

Sia una funzione continua e tale che
Provare che da ciò discende
Discutere se vale l'implicazione inversa o meno.

6. Serie

Esercizi sulle Serie (D. D. S.)
Esercizi sulle Serie (D. D. S.)

Esercizi sulle serie, proposti dal prof. Daniele del Santo durante il corso "Matematica I con esercitazioni" (parte del programma riservata al CdL di Chimifca).

1. Serie a termini non negativi

Esercizio 1.

Studiare il carattere della serie

Esercizio 2.

Studiare il carattere della serie

usando il teorema del confronto e poi studiare il carattere della serie

utilizzando ciò che avete visto prima.

Table Of Contents
Eserciziario di Analisi I - Sommario
1. Funzioni
0. Info
1. TIPOLOGIA A. DEFINIZIONI MISTE
2. TIPOLOGIA B. STUDIO DI FUNZIONE
3. TIPOLOGIA C. ESERCIZI TEORICI
2. Limiti
0. Propedeuticità
1. Esercizi proposti in lezione
2. Esercizi delle dispense
3. Esercizi dei papers
4. Esercizi delle prove d'esame
5. Esercizi del libro
6. Svolgimento degli esercizi
6.1. Esercizi delle lezioni
6.2. Esercizi delle dispense
6.3. Esercizi dei papers
6.4. Esercizi delle prove d'esame
6.5. Esercizi del libro
3. Continuità
1. Esercizi proposti in classe
4. Derivate
TIPOLOGIA A. CALCOLO DELLE DERIVATE
TIPOLOGIA B. PROBLEMA DELLE TANGENTI
TIPOLOGIA C. PROBLEMI DI MIN, MAX
5. Integrali
TIPOLOGIA A. VALUTAZIONE SECONDO RIEMANN
TIPOLOGIA B. CALCOLO DELLE PRIMITIVE
TIPOLOGIA C. LIMITI CON GLI INTEGRALI
TIPOLOGIA D. ESERCIZI TEORICI
6. Serie
1. Serie a termini non negativi